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MEDIA ARITMÉTICA, MODA, MEDIANA,ETC

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Tema: MEDIDAS DE TENDDENCIA CENTRAL


      Un conjunto de datos puede conocerse numéricamente por medio de algunas medidas que lo describen: por ejemplo, la media, la desviación estándar y otras. De esta manera es posible comparar entre sí varios grupos de datos.

      Existen dos tipos de medidas: las conocidas como de tendencia central (o de posición) y las de dispersión (o de variabilidad).

 

     Las medidas de tendencia central se definen como: EL VALOR CENTRAL QUE SE ENCUENTRA EN EL CENTRO O A  LA MITAD DE UN CONJUNTO DE DATOS.

 


                                                       Media, media aritmética o Promedio.

                                                       Mediana

                                                       Moda

     Medidas de tendencia central     Promedio ponderado

                                              Media geométrica, armónica, cuadrática.

                                                       Cuantiles (cuartiles, deciles  y percentiles)

 

 

         Las medidas de tendencia central, así como las de dispersión, pueden calcularse tanto para conjuntos de datos individuales como para una tabla de distribución de frecuencias.


  1. LA MEDIA ARITMETICA, MEDIANA Y MODA PARA SERIES NO AGRUPADAS.

1.1 LA MEDIA ARITMETICA

Entre las medidas de tendencia central, la mas popular es la “media aritmética”, que comúnmente se llama “promedio”

DEFINICION: La media aritmética de un conjunto de N datos:   
 x1,  x2, ….., xN,  se denota por   y se define así:     

Suma de todos los datos
Número total de datos
 
                                                       =                        


NOTA: El símbolo  es la letra griega “sigma mayúscula” que corresponde a la letra S.

EJEMPLO 1: Calcular la media de   8, 16, 4, 12 y 10

SOLUCION: 
                    
                  Advierta: la media es uno de los datos.



EJEMPLO 2: Calcular la media de    8, 16, 4, 12 y 5

SOLUCION: 
                    
                 La media, 9, no  es uno de los datos


Si los números  ocurren  veces, respectivamente (o sea con frecuencias ), la media aritmética es

EJEMPLO 3:   5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1 respectivamente. Hallar la media.

SOLUCION:     

EJEMPLO 4:
El primer examen parcial vale el 20%, el segundo parcial, el 25%, las tareas el 30% y el examen final el 25% de la nota final. Si un estudiante tiene las calificaciones 1er. P: 3.0; 2º.P: 5.8; tareas: 8.0 y EF: 6.4, ¿Cuál es la media aritmética ponderada (nota final)?
  SOLUCION:                        


                 Propiedades de la media aritmética
·         Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos
·         Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
·         Una serie de datos solo tiene una media.
·         Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones
·         Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero.
·         Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media aritmética
·         Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
·         No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.




Ejemplos:

1. Calcule la media aritmética para el conjunto de datos.
     a)  6,8,3,9 y 5                    b)   6,6,8,8,3,9,9,9,5 y 5


2. Calcule la media aritmética ponderada para el conjunto de datos 3.0, 2.0, 6.5 y 8.4  con los pesos: 20%, 20%, 30% y 30% respectivamente.


1.2 LA MEDIANA

DEFINICION: La mediana (md) de un conjunto de números ordenados en sentido creciente (decreciente) es: el valor central, si el número de datos es impar; o la media de los valores centrales, si el número de datos es par.

EJEMPLO 8.  El conjunto de números  3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8  y 10 tiene mediana 6

EJEMPLO 9.  El conjunto de números 5, 5, 6, 8, 9 y 10 tiene mediana 

EJEMPLO 10. Calcular la mediana del conjunto: 8, 5, 10 ,7 ,6 ,9 ,2 ,2 ,5  y  6

Primero se ordenan los números  (orden creciente): 2, 2, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9 y 10. Como hay un número impar de datos, la mediana es 6 (la mediana es uno de los datos)

EJEMPLO 11. Calcular la mediana del conjunto: 7,4,7,4,5,5,6,6,6,3,3,2,1 y 1

Primero se ordenan los números  (orden creciente): 1,1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6,  6, 6, 7 y 7.
Como hay un número par de datos, la mediana es   (la mediana no es uno de los datos).


Ventajas e inconvenientes:
         Es la medida más representativa en el caso de variables que solo admitan la escala ordinal.
         Es fácil de calcular.
         Hay solo una mediana en una serie de datos.
         No es afectada por los valores extremos (altos o bajos)
         Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos, si    no se encuentra en el intervalo abierto.
         Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa, de intervalos, y ordinal.

Ejemplos:

Calcule la mediana a cada uno de los conjuntos de números dados.
a)    7,5,6,4,4,4,3,3,1 y 10     b)  -4, -6, -1, 1, 4, 10 y 3



1.3  LA MODA
DEFINICION: La moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia (valor más frecuente)



NOTA: La moda de un conjunto puede no existir, e incluso no ser única, en caso de existir.

EJEMPLO 5.  El conjunto 1, 2, 3, 3  y 4  tienen moda 3

EJEMPLO 6.  El conjunto 1, 2, 3, y 4 no tienen moda

EJEMPLO 7. El conjunto 1, 1, 2, 2, 3  y 4  tiene dos modas: 1 y 2; se dice que es bimodal.





Propiedades de la moda

· La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa).
· La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.
· Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos.
Desventajas de la moda
  • En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez.
  • En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría preguntarse ¿cual es el valor representativo de la serie de datos?

EJERCICIOS.

1.     Explicar que es una medida de tendencia central; cuales son y cómo se definen.

2.          ¿Cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para calcular la media de  ?
      a)             b)             c)

3.          Encuentre la media, mediana y moda del conjunto de datos
a)    1,2,3,4  y 5                                                c)  4,7,10,6,9 y 10
b)   12,13,14 y 15                                             d)  79,90,95,95 y 96
     e)  9,12,8,10,9,11,12,15,20,9,14,15,21 y 10

4.          Considérese el conjunto de datos: 4, 5, 6, 3, 4, 3, 3, 31 y 4.
            a) Encontrar la media       b)  Hallar la mediana




5.          Elimine el 31 del conjunto de datos en 4.
           c) Encontrar la media;             
           d)  Hallar la mediana      
      e) Comparar los resultados a), b), c) y diga ¿Cuál de las medidas de  tendencia central, la media o la mediana, es mejor para evitar la distorsión    producida por un valor extremo?

6.  Se pidió a 30 reclutas de la Academia de Policía se sometieran a una prueba que mide la capacidad  para el ejercicio. Se midió esta capacidad de cada recluta (en minutos):

25        27       30        33         30         32        30         34       30        27
26        25       29        31         31         32       34         32       33         30
27       30        31       36         28         30        31         26       29         32

       Calcular la moda, media y mediana.

RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA

En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente:
Media – Moda = 3(Media – Mediana)

Moda = 3 Mediana – 2 Media


SESGO.
Una comparación de la media, mediana y la moda puede revelar información acerca de las características de sesgo, que se define a continuación:

Una distribución de datos está sesgada si no es simétrica y se extiende más hacia un lado que hacia el otro. Una distribución de datos es simétrica si la mitad izquierda de su histograma es aproximadamente una imagen en espejo de su mitad derecha.





Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres valores coinciden

http://www.monografias.com/trabajos43/medidas-tendencia-central/mt19.gif







                           Sesgo negativo      Sesgo cero        Sesgo positivo


  1. LA MEDIA ARITMETICA, LA MEDIANA Y LA MODA PARA SERIES AGRUPADAS.

2.1 MEDIA ARITMETICA

La medio, o promedio, es el valor correspondiente a una línea imaginaria que compensa los valores que exceden de la media y los que quedan por debajo de ésta; así la media es mayor que el valor más pequeño, y menor que el valor más grande.



Media aritmética para distribuciones (datos agrupados)






EJEMPLO
Calcular la media aritmética para la distribución de clases y frecuencias que representan las estaturas de 90 estudiantes del Colegio Augusto Walte.




Estaturas (x)
fi
150 – 156
157 – 163
164 – 170
171 – 177
178 – 184
185 - 191
23
20
27
17
2
1
Total
90




2.2  LA MEDIANA

La mediana de una serie de datos ordenados, es el valor que ocupa el lugar central de la serie de datos.
Para datos agrupados, la fórmula para calcular la mediana, viene dada por:


En donde:
li : límite inferior de la clase mediana
Faa: frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
f: frecuencia absoluta de la clase mediana
ic: ancho de clase o tamaño de intervalo

Ejemplo.
A continuación se presenta el peso de 150 alumnos de bachillerato. Determinar la mediana.

Peso (libras)
No. Alumnos
90 – 99
4
100 - 109
23
110 - 119
49
120 - 129
17
130 - 139
13
140 - 149
8
150 - 159
6

3.3  LA MODA

La moda es el valor más frecuente en una serie de datos.
Para datos agrupados, la fórmula para calcular la mediana, viene dada por:



En donde:
li : límite inferior de la clase modal
: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior a la moda (pre modal)
*: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase posterior a la modal (pos modal)
ic: ancho de clase o tamaño de intervalo.
Ejemplo.
Determinar la moda de la siguiente serie de datos.

Clases
F
2.4 – 3.0
6
3.1 – 3.7
10
3.8 – 4.4
15
4.5 – 5.1
5
5.2 – 5.8
14

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA.

1)    La sumatoria de las desviaciones de los valores de la serie, con respecto a su media es igual a cero


Ejemplo.
Demostrar la propiedad, con las calificaciones del Laboratorio 1 de estadística I de cinco estudiantes: 7.5, 8.3, 7.0, 6.5 y 9.0

2)   La media de un valor constante es igual a la constante:
M(k) = k
Ejemplo.
Encontrar la media aritmética para el gasto de pasaje por semana, de un alumno de la UPES, si este gasta $0.80 diarios

3)   La media del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la media de la variable:
M(kx) = k M(x)
Ejemplo.
Calcule la media aritmética de las notas de los alumnos de estadística I, si se tiene que dar base 100

4)   Si a cada valor de la variable se le agrega una constante, la media de la variable resultante, es igual a la media original más la constante: 
M(k + x) = K + M(x).
Ejemplo.
Si el catedrático se ha equivocado en las notas del Laboratorio 1, y tiene que incrementarlas en 0.75, ¿cuál es la nueva media aritmética?


      5) La media de una muestra es igual a la media ponderada de las medias, siendo las ponderaciones los tamaños de dicha muestra, es decir:



Ejemplo: En una escuela metropolitana de San Salvador, hay tres secciones del noveno grado, se les paso un examen de matemática con los siguientes resultados:


Secciones
f
A
25
68
B
30
70
C
45
60






EJERCICIOS

1. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda  para cada serie presentada.

a)    6.5, 4.0, 9.8, 10, 14, 8.4, 9.3, 12.1

2.  A continuación se presenta la distribución de las estaturas en centímetros de un grupo de 100 estudiantes:

     Estaturas (x)           f

    150  -  156               5
    157  -  163             25
    164  -  170             45
    171  -  177              15
    178  -  184             10


a)    Calcule la media aritmética
b)   Calcule la mediana
c)    Calcule la moda

3.   En una oficina 13 empleados hicieron las siguientes contribuciones para ayudar a un compañero que tuvo un accidente: 12, 5, 5, 15, 12, 75, 3, 15, 40, 18, 5, 10 y 9 colones.
Calcula: a) La media aritmética
             b) La mediana
             c) La moda

4.  Se tienen las calificaciones de un grupo de estudiantes de cierta universidad en un examen parcial de Estadística. 
Calificaciones
Frecuencia
3.0   -   3.9
2
4.0   -   4.9
6
5.0   -   5.9
12
6.0   -   6.9
50
7.0   -   7.9
35
8.0   -   8.9
15
9.0   -   9.9
5










Calcule: a) La media aritmética
               b) La  mediana
               c) La moda
               d) ¿Cuál de estas medidas describe mejor estos datos?

5. De una muestra de empleados de un a empresa se obtuvo la siguiente distribución de recorridos en los viajes entre el hogar y la oficina. 

Distancia (Millas)
Frecuencia
1.0   -  2.9
2
3.0   -  4-9
6
5.0   -  6.9
12
7.0   -  8.9
50
9.0   -  10.9
35
11.0   -  12.9
15
13.0   -  14.9
5












Calcule: a) La media aritmética
               b) La  mediana
               c) La moda (Método algebraico  y empírico)  
    
MEDIA ARMÓNICA
La media armónica, denominada Ma, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso multiplicativo, de la media aritmética de los recíprocos de los datos de una serie.
Así, dados los números a1,a2, ... , an, la media armónica será igual a para series no agrupadas:
{H} = {n \over { \sum_{i=1}^n{1 \over a_i}}} = {n \over ({1 \over a_1}+\cdots+{1 \over a_n})}                                            
                                     Ma =






Para distribuciones de frecuencias no agrupadas:

Ma =

Para distribuciones de clases y frecuencias:

Ma =
La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de la existencia en el conjunto de valores nulos.
Propiedades
  1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
  2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
Ventajas
  • Considera todos los valores de la distribución y
  • en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.
Desventajas
  • La influencia de los valores pequeños y
  • El hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.
  • Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.


MEDIA GEOMÉTRICA
En matemáticas y estadística, la media geométrica, denominada Mg de una cantidad arbitraria de números (digamos n números) es la raíz n-ésima del producto de los “n” datos de una serie.
Para series no Agrupadas:
Mg=
Mg=
Mg=
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
\sqrt[2]{2 \cdot 18} = \sqrt[2]{36} = 6
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
\sqrt[3]{1 \cdot 3 \cdot 9} = \sqrt[3]{27} = 3

Para distribución de frecuencias  ponderadas:

                         Log Mg=

Para distribución de frecuencias  agrupadas:

Log Mg=
La pregunta que contesta es: si todas las cantidades n fueran iguales, ¿cuál sería esa n para que el producto fuera el mismo?
Propiedades
El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.


Ventajas:
  • considera todos los valores de la distribución y
  • es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.
Desventajas:
  • es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética,
  • su cálculo es más difícil y
  • en ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor xi=0 entonces la media geométrica se anula.
Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales.
En muchas ocasiones se utiliza su trasformación en el manejo estadístico de variables con distribución no normal.
La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.
MEDIA CUADRÁTICA
En
matemáticas, la media cuadrática, valor cuadrático medio o RMS (del inglés root mean square) es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Puede calcularse para una serie de valores discretos o para una función de variable continua. El nombre deriva del hecho de que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores.
A veces la variable toma valores positivos y negativos, como ocurre, por ejemplo, en los errores de medida. En tal caso se puede estar interesado en obtener un promedio que no recoja los efectos del signo. Este problema se resuelve, mediante la denominada media cuadrática. Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones (así los signos negativos desaparecen), en obtener después su media aritmética y en extraer, finalmente, la raíz cuadrada de dicha media para volver a la unidad de medida original.
La media cuadrática para una serie no agrupada:
Mc =

Para distribuciones de frecuencias no agrupadas:

Mc =

Para distribuciones de clases y frecuencias:
 Mc =


OTRAS MEDIDAS DE POSICION.

Así como la mediana marca la mitad de valores mayores que ella y la mitad de valores menores que ella, los cuantiles permiten identificar los valores ubicados en diferentes posiciones de un grupo e datos.


Los cuartiles (primero, segundo y tercero) señalan el valor que está al 25, 50 y 75 % de la totalidad de datos (el segundo cuartil equivale a la mediana).


Los deciles (del primero al noveno) marcan el valor ubicada al 10, 20,....., 89, 90 % de los datos (el quinto decil equivale a la mediana).


Los percentiles (del primero al nonagésimo nono) indican el valor que está al          1, 2, 3,........, 98, 99% de los datos.


Obsérvese que los deciles primero, segundo, etc., equivalen a los percentiles décimo, vigésimo, etc., y los cuartiles equivalen a los percentiles 25m 50 y 75.

CUARTILES (Q).


Las fórmulas para obtener los cuartiles se presentan a continuación.
El proceso para localizar los cuartiles es semejante al que se utiliza para encontrar la mediana.

a)    Ordene los “n” datos en forma ascendente
b)   La posición del cuartil  k es  ; donde k x 1 , 2, 3.


DECILES
Los deciles dividen a la serie ordenada en diez partes iguales, que se van a representar por D1, D2,…, D9
La posición del decil “k” es   ; donde k x 1, 2, 3, … , 9

PERCENTILES
Los percentiles dividen a la serie ordenada en cien partes iguales, que se van a representar por P1, P2,…, P99

La posición del percentil “k” es  ; donde K x 1, 2, 3,. . ., 98, 99

Observemos que: Q2 = D5 = P50 = MEDIANA
 NOTA:

·        Si el resultado del cociente de la posición del cuartil, decil o percentil es un número decimal aproxímese al inmediato superior.

·        Si el resultado del cociente de la posición del cuartil, decil o percentil es un número entero súmele 0.5.

*** Para obtener los cuartiles, deciles y percentiles de datos agrupados pueden utilizarse las siguientes formulas:



CUARTILES: kn/4; k = 1, 2, 3. 







DECILES:  kn/10; k = 1, 2, 3,..., 9   






PECENTILES:   kn/100; k = 1, 2, 3, 4, 5...., 99


EJERCICIOS

1.     Encontrar los cuartiles 2 y 3, deciles 5 y 9, percentiles 40 y 80 en la siguiente serie de datos: 20, 55, 22, 50, 25, 50, 28, 45, 28, 42, 30, 20, 35, 35, 35


2.    La siguiente distribución corresponde a los salarios mensuales de 100 personas

Salario (x)
f
300 – 349
16
350 - 399
24
400 - 449
30
450 - 499
20
500 - 549
10

 Calcule:

a)    El cuartil 1
b)   El cuartil2
c)    El cuartil 3
d)   El decil 5
e)    El decil 8
f)    El percentil 70
g)    El percentil 40
h)    ¿Cuál es el salario que deja sobre sí el 50% de ellos?
i)     ¿Cuál es el salario que deja bajo sí el 70% de ellos?
j)    ¿Cuál es el salario que deja sobre sí el 60% de ellos?





3.    Para la distribución dada, hallar el cuartil 1, 2 y 3. Los deciles 3, 5 y 8; y los percentiles 15, 50 y 73.
     Que puede concluir acerca del cuartil 2, decil 5 y percentil 50.

Edad(x)
f
19 – 23
15
24 – 28
16
29 – 33
20
34 – 38
14
39 – 43
8
44 - 48
7

4.  Calcular los cuartiles 1 y 3; deciles 4 y 9; percentiles 25 y 75 de las series estadísticas:
a)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
c)  10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18
5.  Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
[30, 35)
fi
3
5
7
4
2
a)  Hallar los cuartiles, deciles y percentiles  1º y 3º respectivamente.
6.  Dadas las series estadísticas:
a)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular los cuartiles, deciles y percentiles 2º y 7º respectivamente.
7.  Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
[30, 35)
fi
3
5
7
4
2

Hallar los deciles y percentiles 3º y 6º.
8.  Calcular los cuartiles 2 y 3, deciles 4 y 6 , percentiles 22 y 35 de la distribución de la tabla:

fi
Fi
[50, 60)
8
8
[60, 70)
10
18
[70, 80)
16
34
[80, 90)
14
48
[90, 100)
10
58
[100, 110)
5
63
[110, 120)
2
65

65

9.  Dadas las series estadísticas:
a)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular los percentiles 32 y 85.
10.     Calcule los cuartiles uno, dos  y tres, los deciles tres siete y nueve y los percentiles 5 10 y 25 de la serie simple. 0.10, 0.12, 0.15, 0.15, 0.18, 0.20, 0.25.
11.  La siguiente distribución corresponde a salarios mensuales de un grupo de 56 personas:
SALARIOS
F
500  -   599
8
600  -   699
12
700   -   899
18
800   -   899
10
900    -  999
6
1000  -   1099
2


Calcule:
a)    Cuartil uno
b)   Cuartil dos
c)    Cuartil tres
d)   Decil cinco
e)    Decil ocho
f)    Percentil ochenta
g)    Percentil cincuenta
h)    El salario  que limita el 20% superior de la distribución.
i)     El salario que deja sobre si el 70% de los casos
j)    Entre qué salarios está el 60% central de la distribución.



EJERCICIOS  PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA.

1.             Encuentre la media de los datos siguientes: 45, 62, 89, 112 y 92. ¿cuál es la nueva media que se obtiene cuando a cada uno de los datos anteriores?
a.     Se le suma 18
b.    Se le resta 12
c.     Se le multiplica por 5
d.    Se le divide entre 4

2.   La suma de los salarios en planilla que paga una pequeña empresa asciende a 54,000 dólares. Si el salario promedio que paga dicha empresa es 1,800 dólares; determine el número de personas que trabajan en esa empresa.

3.   En una farmacia trabajan 8 empleados cuyo sueldo medio mensual es de $200.
a.     Si se efectúa un aumento general de $26 mensuales, ¿Cuál es el nuevo suelo medio mensual?
b.    ¿Cuál es el sueldo medio mensual si el aumento que se hace a todos los empleados es del 12%’

4.   La suma de los salarios en planilla que paga cierta empresa asciende a $66,600. Si el salario promedio que paga esta empresa es $1,800, determine el número de personas que trabajan en dicha empresa.

5.   El peso medio de 5 señoritas es de 98 libras, mientras que el peso medio de 12 varones es de 110 libras. ¿Cuál es el peso medio de las 17 personas?

6.   En un equipo de baloncesto la edad media de los cinco jugadores titulares es de 18 años. Si se sabe que la edad media de los jugadores suplentes es de 24 años; y que la edad media de todo el equipo, tanto titulares como suplentes es de 22 años. ¿Cuántos son los jugadores suplentes que tiene dicho equipo?

7.   Un grupo de clase formado por 30 varones y 20 señoritas tiene, en matemática, una nota media de 6.2. Si la nota media para solamente las señoritas es de 6.8. ¿Cuál es la nota media para los varones solos?

8.   En tres departamentos de un banco se tiene la siguiente información: la media del salario mensual de las 32 personas del primer departamento es de $2,400; en el segundo departamento, de 54 personas, la media es de  $3,100 y el tercer departamento de 16 personas, tiene un salario promedio d $3,500. ¿cuál es la media general de los tres departamentos del banco?


9.   En una empresa de maquila, donde trabajan 400 empleados, el salario promedio es de $1,625. Determinar como cambia el salario promedio en las distintas circunstancias:
a.     So se aumentan los salarios en 120 dólares.
b.    Si se aumentan los salarios en un 25 %.
c.     Si se aumentan los salarios en un 15%, más una bonificación del $131.25.

10.La suma de las calificaciones de un grupo de 40 estudiantes es de 192. Al calcular el profesor la media aritmética del grupo observo que con este promedio reprobaría más del 50% del grupo. En lugar de hacer otro examen, el profesor dispuso aumentar las calificaciones de los estudiantes en 1.2.
a.     Determine la media aritmética original.
b.    ¿Cómo queda afectado este promedio si aumenta 1.2 a cada estudiante?

11. La media de los salarios de los docentes de cierta Universidad es de $4,800. Dado que la tasa de inflación ha sufrido un alza el 12%, la junta de accionistas de dicha universidad acordó dar una bonificación más un incremento salarial del 15 %. Determine cómo quedaría el nuevo salario con dichos incrementos.

12.Respecto al rendimiento escolar de tres secciones de un noveno grado de cierto colegio, se tiene la siguiente información:

SECCIÓN
Ni
Xi
A
25
7.5
B
35
7.1
C
60
6.2

Calcular la media de las secciones en conjunto.

13.Una empresa constructora paga a los empleados un salario promedio de $2,400. Mencione qué cambios sufre este promedio:
a.     Si se aumentan todos los salarios en $100.
b.    Si se aumentan todos los salarios en un 14%.
c.     Si se aumentan todos los salarios en un 10% más una bonificación de $150.
     Entre las alternativas  a, b y c, ¿cuál les conviene a los empleados de la empresa?

14. Un profesor ha decidido utilizar un promedio ponderado al calcular las calificaciones de sus alumnos. Las ponderaciones  son las siguientes: 10% para las tareas, 20% para los laboratorios, 30% para el examen parcial y 40% para el examen final. A continuación aparecen las calificaciones de los primeros tres alumnos de la lista:


ALUMNO
TAREA
LABORATORIOS
PARCIAL
EX FINAL
PROMEDIO
HERNÁNDEZ
10
8
7
5

BONILLA
9
10
8
6

MARTÍNEZ
7
6
5
4


Con estos datos, calcule el promedio final de los tres estudiantes.

15.En un supermercado trabajan 30 persona, las cuales tienen un sueldo medio mensual de $1,500. ¿a cuánto asciende la cantidad total mensual de dinero  que dicho supermercado paga a estos empleados?

16.Se  sabe que en una oficina el sueldo medio mensual es de $2,500. Si entre todos los empleados de dicha oficina ganan mensualmente $45,000. ¿cuantos empleados son en total?

17.Un estudiante ha finalizado  su año escolar, habiendo obtenido en seis exámenes mensuales de estadística las notas siguientes: 3.0, 6.5, 5.0, 4.0, 7.0 y 8.0. Efectuó  también tres exámenes trimestrales, en los que obtuvo las siguientes notas: 6.0, 3.0 y 7.5.  Si la ponderación para cada examen trimestral es tres veces mayor que para cada uno de los exámenes mensuales. ¿Cuál es la nota final de dicho estudiante?

18.En una fábrica laboran 200 obreros cuyo sueldo mensual medio es de $180. Se llega a un arreglo con el dueño para que l próximo año efectué dos aumentos de sueldo, uno en el mes de febrero y otro en el mes de agosto.
Uno de los aumentos deberá ser de 20 y el otro consistirá en el 12% del sueldo que el obrero esté devengando a la hora del aumento.

a.     ¿Cuál de los dos aumentos le conviene a los obreros que se haga primero?
b.    ¿Cuál es el nuevo sueldo mensual medio después de efectuar los dos aumentos en el orden que le conviene a los obreros?
c.     ¿Cuál de los dos aumentos le conviene efectuar primero al dueño?
d.    ¿Cuál es el nuevo sueldo mensual medio después de efectuar lo dos aumentos en el orden que le conviene al dueño?
e.     Si el dueño efectúa los dos aumentos en el orden en que a él le conviene ¿Cuánto dinero mensual dejará de pagar?

19.En una granja avícola hay 3,200 pollos cuyo peso medio es de 4 libras. El propietario decide darles un nuevo alimento para pollos, cuya garantía es que aumenta el peso de cada pollo en un 10% semanalmente.
Si la garantía es verdadera. ¿Cuál es el peso medio de los pollos al cabo de 4 semanas? ¿Cuántas libras extras de carne de pollo obtendrá el propietario al cabo de 4 semanas?

20. Seis familiares viven en las ciudades que se detallan en el siguiente diagrama (las distancias entre ciudad y ciudad aparecen en kilómetros).


Ahuachapán          Santa Ana         San Salvador     Cojutepeque       San Miguel      La Unión.
                
             34 km                  63 km                33 km                99 km               46 km

Si se desean reunirse en la casa de uno cualquiera de ellos, para celebrar juntos la navidad. ¿Dónde deberán hacerlo para que el número medio de kilómetros recorridos por todos sea  mínimo.
En que lugar el número medio de kilómetros, recorridos por todos, sería máximo?

21.  Un profesor ha decidido utilizar un promedio ponderado al calcular las calificaciones finales de los estudiantes que asistieron a su seminario. El promedio de las tareas hechas en casa representan el 20% de cada calificación, el examen parcial, 25%; el examen final, 35%; el examen trimestral, 10% y los problemas de práctica, 10%. Con los datos anexos calcule el promedio final de los cinco estudiantes que asistieron al seminario
ALUMNO
TAREA ESCOLAR
PROBLEMAS
EXAMEN
TRIMESTRAL
EXAMEN PARCIAL
EXAMEN FINAL
1
85
89
94
87
90
2
78
84
88
91
92
3
94
88
95
86
89
4
82
79
83
84
93
5
95
90
92
82
88







EJERCICIOS SOBRE LA MEDIA GEOMETRICA, ARMONICA, CUADRATICA.
1.   Hallar la media geometría de los números:
a)    4.2, 16.8
b)   3,6,9,12,15
c)    2,4,6,8,16,32
d)   3,5,8,3,7,2
e)    28.5, 73.6, 47.2, 31.5, 64.8

2.    Hallar dos números cuya media aritmética es 9.0 y cuya media geométrica es 7.2.

3.     Hallar la media armónica de los números:
a.      2,3,6
b.    3.2, 5.2, 4.8, 6.1, 4.2
c.     0,2,4,6
4.    Las ciudades A, B y C  están equidistantes entre si. Un motoristas viaja desde A hasta B a 30 mi/h, dese B hasta C a 40 mi/h, y desde C hasta a A a 50 mi/. Determinar su velocidad media en el viaje completo.

5.    Hallar la media cuadrática de los números
a.     11, 23 y 35
b.    2.7, 3.8, 3.2, 4.3

6.    Hallar la media geométrica, armónica y cuadrática  de las series siguientes y compararla con la media aritmética de las distribuciones:
a)     La tabla muestra la distribución de cargas máximas en toneladas cortas   (1 tonelada corta = 2000 lb) que soportan los cables producidos en cierta fabrica.
CARGA MÁXIMA
NÚMERO DE CABLES
9.3   -    9.7
2
9.8   -   10.2
5
10.3   -   10.7
12
10.8   -   11.2
17
11.3   -   11.7
14
11.8   -   12.2
6
12.3   -   12.7
3
12.  8  -   13.2
1
N
60


















b)    
X
462
480
498
516
534
552
570
588
606
624
f
98
75
56
42
30
21
15
11
6
2

7.    Hallar la media geométrica, armónica y cuadrática  de las series siguiente y compararla con la media aritmética de las distribuciones de los diámetros de los remaches salidos de una fábrica.
DIÁMETRO (CM)
FRECUENCIA
0.7247   -   0.7249
2
0.7250   -   0.7252
6
0.7253   -   0.7255
8
0.7256   -   0.7258
15
0.7259   -   0.7261
42
0.7262   -   0.7264
68
0.7265   -   0.7267
49
0.7268   -   0.7270
25
0.7271   -   0.7273
18
0.7274   -   0.7276
12
0.7277   -   0.7279
4
0.7280   -   0.7282
1
total
250


http://www.monografias.com/trabajos43/medidas-tendencia-central/mt18.gif