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MEDIA ARITMÉTICA, MODA, MEDIANA,ETC
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Tema: MEDIDAS DE
TENDDENCIA CENTRAL
•
Un conjunto
de datos puede conocerse numéricamente por medio de algunas medidas que lo
describen: por ejemplo, la media, la desviación estándar y otras. De esta
manera es posible comparar entre sí varios grupos de datos.
•
Existen dos
tipos de medidas: las conocidas como de tendencia central (o de posición) y las
de dispersión (o de variabilidad).
•
Las medidas
de tendencia central se definen como: EL VALOR CENTRAL QUE SE ENCUENTRA EN
EL CENTRO O A LA MITAD DE UN CONJUNTO DE
DATOS.
Media, media
aritmética o Promedio.
Mediana
Moda
•
Medidas de
tendencia central Promedio ponderado
Media geométrica, armónica, cuadrática.
Cuantiles (cuartiles, deciles y
percentiles)
•
Las medidas
de tendencia central, así como las de dispersión, pueden calcularse tanto para
conjuntos de datos individuales como para una tabla de distribución de
frecuencias.
=
Si los números ocurren veces, respectivamente (o sea con frecuencias ), la media aritmética es
5) La media de una muestra es igual a la media ponderada de las medias, siendo las ponderaciones los tamaños de dicha muestra, es decir:
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Tema: MEDIDAS DE
TENDDENCIA CENTRAL
•
Un conjunto
de datos puede conocerse numéricamente por medio de algunas medidas que lo
describen: por ejemplo, la media, la desviación estándar y otras. De esta
manera es posible comparar entre sí varios grupos de datos.
•
Existen dos
tipos de medidas: las conocidas como de tendencia central (o de posición) y las
de dispersión (o de variabilidad).
•
Las medidas
de tendencia central se definen como: EL VALOR CENTRAL QUE SE ENCUENTRA EN
EL CENTRO O A LA MITAD DE UN CONJUNTO DE
DATOS.
Media, media
aritmética o Promedio.
Mediana
Moda
•
Medidas de
tendencia central Promedio ponderado
Media geométrica, armónica, cuadrática.
Cuantiles (cuartiles, deciles y
percentiles)
•
Las medidas
de tendencia central, así como las de dispersión, pueden calcularse tanto para
conjuntos de datos individuales como para una tabla de distribución de
frecuencias.
- LA MEDIA ARITMETICA,
MEDIANA Y MODA PARA SERIES NO AGRUPADAS.
1.1 LA MEDIA ARITMETICA
Entre las medidas
de tendencia central, la mas popular es la “media
aritmética”, que comúnmente se llama “promedio”
DEFINICION: La media
aritmética de un conjunto de N datos:
x1,
x2, ….., xN, se denota por y se define
así:
|
NOTA: El símbolo es la letra griega “sigma mayúscula” que
corresponde a la letra S.
EJEMPLO 1: Calcular la media de 8, 16, 4, 12 y 10
SOLUCION:
Advierta: la media es uno de los datos.
EJEMPLO 2: Calcular la media de 8, 16, 4, 12 y 5
SOLUCION:
La
media, 9, no es uno de los datos
Si los números ocurren veces, respectivamente (o sea con frecuencias ), la media aritmética es
EJEMPLO 3: 5, 8, 6 y 2
ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1 respectivamente. Hallar la media.
SOLUCION:
EJEMPLO 4:
El primer examen parcial vale el
20%, el segundo parcial, el 25%, las tareas el 30% y el examen final el 25% de
la nota final. Si un estudiante tiene las calificaciones 1er. P: 3.0; 2º.P:
5.8; tareas: 8.0 y EF: 6.4, ¿Cuál es la media aritmética ponderada (nota
final)?
SOLUCION:
Propiedades de la media
aritmética
·
Todos los valores son incluidos en el cómputo de la
media.
·
Una serie de datos solo tiene una media.
·
Es una medida muy útil para comparar dos o más
poblaciones
·
Es la única medida de tendencia central donde la
suma de las desviaciones de cada valor
respecto a la media es igual a cero.
·
Por lo tanto podemos considerar a la media como el
punto de balance de una serie de datos.
Desventajas de la media
aritmética
·
Si alguno de los valores es extremadamente grande o
extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar
la serie de datos.
·
No se puede determinar si en una distribución de
frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
Ejemplos:
1. Calcule la media aritmética para
el conjunto de datos.
a) 6,8,3,9 y 5 b) 6,6,8,8,3,9,9,9,5 y 5
2. Calcule la media aritmética
ponderada para el conjunto de datos 3.0, 2.0, 6.5 y 8.4 con los pesos: 20%, 20%, 30% y 30%
respectivamente.
1.2
LA MEDIANA
DEFINICION: La mediana (md) de
un conjunto de números ordenados en sentido creciente (decreciente) es: el
valor central, si el número de datos es impar; o la media de los valores
centrales, si el número de datos es par.
EJEMPLO 8. El conjunto de números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8 y 10 tiene mediana 6
EJEMPLO 9. El conjunto de números 5, 5, 6, 8, 9 y 10
tiene mediana
EJEMPLO 10.
Calcular la mediana del conjunto: 8, 5, 10 ,7 ,6 ,9 ,2 ,2 ,5 y 6
Primero se ordenan
los números (orden creciente): 2, 2, 5,
5, 6, 6, 7, 8, 9 y 10. Como hay un número impar de datos, la mediana es 6 (la mediana es uno de los datos)
EJEMPLO 11.
Calcular la mediana del conjunto: 7,4,7,4,5,5,6,6,6,3,3,2,1 y 1
Primero se ordenan
los números (orden creciente): 1,1, 2,
3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7 y 7.
Como hay un número
par de datos, la mediana es (la mediana no es uno de los datos).
Ventajas
e inconvenientes:
•
Es la medida más representativa en el caso de
variables que solo admitan la escala ordinal.
•
Es fácil de calcular.
•
Hay
solo una mediana en una serie de datos.
•
No
es afectada por los valores extremos (altos o bajos)
•
Puede
ser calculada en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos, si no se encuentra en el intervalo abierto.
•
Puede
ser calculada en distribuciones con escala relativa, de intervalos, y ordinal.
Ejemplos:
Calcule la mediana
a cada uno de los conjuntos de números dados.
a) 7,5,6,4,4,4,3,3,1
y 10 b) -4, -6, -1, 1, 4, 10 y 3
1.3 LA MODA
DEFINICION:
La moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor
frecuencia (valor más frecuente)
NOTA: La moda de un conjunto puede no existir, e incluso no
ser única, en caso de existir.
EJEMPLO 5. El conjunto 1, 2, 3, 3 y 4
tienen moda 3
EJEMPLO 6. El conjunto 1, 2, 3, y 4 no tienen moda
EJEMPLO 7. El
conjunto 1, 1, 2, 2, 3 y 4 tiene dos modas: 1 y 2; se dice que es
bimodal.
Propiedades de
la moda
·
La
moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de
intervalos, y relativa).
·
La
moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.
·
Al
igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos
abiertos.
Desventajas de
la moda
- En
muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una
vez.
- En
algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría
preguntarse ¿cual es el valor representativo de la serie de datos?
EJERCICIOS.
1.
Explicar que es una medida de tendencia central;
cuales son y cómo se definen.
2.
¿Cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para
calcular la media de ?
a) b) c)
3.
Encuentre
la media, mediana y moda del conjunto de datos
a) 1,2,3,4 y 5 c) 4,7,10,6,9 y 10
b) 12,13,14 y 15 d)
79,90,95,95 y 96
e)
9,12,8,10,9,11,12,15,20,9,14,15,21 y 10
4.
Considérese
el conjunto de datos: 4, 5, 6, 3, 4, 3, 3, 31 y 4.
a) Encontrar la media b)
Hallar la mediana
5.
Elimine el 31 del conjunto de datos en 4.
c) Encontrar
la media;
d)
Hallar la mediana
e) Comparar los resultados
a), b), c) y diga ¿Cuál de las medidas de tendencia central, la media o la mediana, es
mejor para evitar la distorsión producida por un valor extremo?
6. Se pidió
a 30 reclutas de la Academia de Policía se sometieran a una prueba que mide la
capacidad para el ejercicio. Se midió
esta capacidad de cada recluta (en minutos):
25 27
30 33 30 32 30 34 30
27
26 25
29 31 31 32 34 32 33 30
27 30
31 36 28
30 31 26 29 32
Calcular la moda,
media y mediana.
En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana
y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente
relación se mantiene aproximadamente:
Media – Moda = 3(Media – Mediana)
Moda = 3 Mediana – 2 Media
|
SESGO.
Una comparación de la media, mediana y la moda puede revelar
información acerca de las características de sesgo, que se define a
continuación:
Una distribución de datos está sesgada si no es simétrica y se
extiende más hacia un lado que hacia el otro. Una distribución de datos es
simétrica si la mitad izquierda de su histograma es aproximadamente una imagen
en espejo de su mitad derecha.
Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para
curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para
curvas simétricas los tres valores coinciden
Sesgo negativo Sesgo
cero Sesgo positivo
- LA MEDIA ARITMETICA, LA MEDIANA Y LA MODA PARA SERIES
AGRUPADAS.
2.1 MEDIA ARITMETICA
La medio, o promedio, es el valor correspondiente a una línea
imaginaria que compensa los valores que exceden de la media y los que quedan
por debajo de ésta; así la media es mayor que el valor más pequeño, y menor que
el valor más grande.
Media aritmética para distribuciones
(datos agrupados)
EJEMPLO
Calcular la media aritmética para la distribución de clases y
frecuencias que representan las estaturas de 90 estudiantes del Colegio Augusto
Walte.
Estaturas
(x)
|
fi
|
150
– 156
157
– 163
164
– 170
171
– 177
178
– 184
185
- 191
|
23
20
27
17
2
1
|
Total
|
90
|
2.2 LA MEDIANA
La mediana de una serie
de datos ordenados, es el valor que ocupa el lugar central de la serie de
datos.
Para datos agrupados, la
fórmula para calcular la mediana, viene dada por:
En donde:
li : límite inferior de
la clase mediana
Faa: frecuencia acumulada
anterior a la clase mediana
f: frecuencia absoluta de
la clase mediana
ic: ancho de clase o
tamaño de intervalo
Ejemplo.
A continuación se presenta el peso de 150 alumnos de
bachillerato. Determinar la mediana.
Peso
(libras)
|
No.
Alumnos
|
90 –
99
|
4
|
100
- 109
|
23
|
110
- 119
|
49
|
120
- 129
|
17
|
130
- 139
|
13
|
140
- 149
|
8
|
150
- 159
|
6
|
3.3 LA MODA
La moda es el valor más frecuente en una serie de datos.
Para datos agrupados, la fórmula para calcular la mediana,
viene dada por:
En donde:
li : límite inferior de
la clase modal
: Diferencia entre la frecuencia de la
clase modal y la frecuencia de la clase anterior a la moda (pre modal)
: Diferencia entre la frecuencia de la
clase modal y la frecuencia de la clase posterior a la modal (pos modal)
ic: ancho de clase o
tamaño de intervalo.
Ejemplo.
Determinar la moda de la siguiente serie de datos.
Clases
|
F
|
2.4 – 3.0
|
6
|
3.1 – 3.7
|
10
|
3.8 – 4.4
|
15
|
4.5 – 5.1
|
5
|
5.2 – 5.8
|
14
|
PROPIEDADES
DE LA MEDIA ARITMETICA.
1)
La sumatoria de las desviaciones de los
valores de la serie, con respecto a su media es igual a cero
Ejemplo.
Demostrar la propiedad,
con las calificaciones del Laboratorio 1 de estadística I de cinco estudiantes:
7.5, 8.3, 7.0, 6.5 y 9.0
2)
La media de un valor constante es igual a
la constante:
M(k)
= k
Ejemplo.
Encontrar
la media aritmética para el gasto de pasaje por semana, de un alumno de la UPES,
si este gasta $0.80 diarios
3)
La media del producto de una constante
por una variable es igual al producto de la constante por la media de la
variable:
M(kx)
= k M(x)
Ejemplo.
Calcule la media
aritmética de las notas de los alumnos de estadística I, si se tiene que dar
base 100
4)
Si a cada valor de la variable se le
agrega una constante, la media de la variable resultante, es igual a la media
original más la constante:
M(k
+ x) = K + M(x).
Ejemplo.
Si el catedrático se ha
equivocado en las notas del Laboratorio 1, y tiene que incrementarlas en 0.75,
¿cuál es la nueva media aritmética?
5) La media de una muestra es igual a la media ponderada de las medias, siendo las ponderaciones los tamaños de dicha muestra, es decir:
Ejemplo: En una escuela metropolitana de San
Salvador, hay tres secciones del noveno grado, se les paso un examen de
matemática con los siguientes resultados:
Secciones
|
f
|
|
A
|
25
|
68
|
B
|
30
|
70
|
C
|
45
|
60
|
EJERCICIOS
1. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda para cada serie presentada.
a)
6.5, 4.0, 9.8, 10, 14, 8.4, 9.3, 12.1
2. A
continuación se presenta la distribución de las estaturas en centímetros de un
grupo de 100 estudiantes:
Estaturas (x) f
150
- 156 5
157 - 163 25
164 - 170
45
171
- 177 15
178
- 184 10
a) Calcule
la media aritmética
b) Calcule
la mediana
c) Calcule
la moda
3. En una oficina 13 empleados hicieron las
siguientes contribuciones para ayudar a un compañero que tuvo un accidente: 12,
5, 5, 15, 12, 75, 3, 15, 40, 18, 5, 10 y 9 colones.
Calcula: a) La media aritmética
b) La mediana
c) La moda
4. Se
tienen las calificaciones de un grupo de estudiantes de cierta universidad en
un examen parcial de Estadística.
Calificaciones
|
Frecuencia
|
3.0 -
3.9
|
2
|
4.0 -
4.9
|
6
|
5.0 -
5.9
|
12
|
6.0 -
6.9
|
50
|
7.0 -
7.9
|
35
|
8.0 -
8.9
|
15
|
9.0 -
9.9
|
5
|
Calcule: a) La media aritmética
b) La mediana
c) La moda
d) ¿Cuál de estas
medidas describe mejor estos datos?
5. De una
muestra de empleados de un a empresa se obtuvo la siguiente distribución de
recorridos en los viajes entre el hogar y la oficina.
Distancia
(Millas)
|
Frecuencia
|
1.0 -
2.9
|
2
|
3.0 -
4-9
|
6
|
5.0 -
6.9
|
12
|
7.0 -
8.9
|
50
|
9.0 -
10.9
|
35
|
11.0 -
12.9
|
15
|
13.0 -
14.9
|
5
|
Calcule: a) La media aritmética
b) La mediana
c) La moda (Método
algebraico y empírico)
MEDIA
ARMÓNICA
La media
armónica, denominada Ma,
de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o
inverso multiplicativo, de la media
aritmética de los recíprocos de los datos de una serie.
Así, dados los números a1,a2,
... , an, la media armónica será igual a para series no
agrupadas:
Ma =
Para
distribuciones de frecuencias no agrupadas:
Ma =
Para distribuciones de clases y frecuencias:
Ma =
La media armónica resulta poco influida por la
existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los
otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de la
existencia en el conjunto de valores nulos.
Propiedades
- La
inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los
valores de la variable.
- Siempre
se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando
adecuadamente los datos.
Ventajas
- Considera
todos los valores de la distribución y
- en
ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.
Desventajas
- La
influencia de los valores pequeños y
- El
hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores
iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones
donde existan valores muy pequeños.
- Se
suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.
MEDIA
GEOMÉTRICA
En matemáticas y estadística, la media geométrica, denominada Mg de una
cantidad arbitraria de números (digamos n números) es la raíz n-ésima del producto de
los “n” datos de una serie.
Para series no Agrupadas:
Mg=
Mg=
Mg=
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
Para distribución de frecuencias
ponderadas:
Log Mg=
Para distribución de frecuencias agrupadas:
Log Mg=
La pregunta que contesta es: si todas las cantidades n fueran
iguales, ¿cuál sería esa n para que el producto fuera el mismo?
Propiedades
El logaritmo de la
media geométrica es igual a la media aritmética de los
logaritmos de los valores de la variable.
Ventajas:
- considera
todos los valores de la distribución y
- es
menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.
Desventajas:
- es
de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética,
- su
cálculo es más difícil y
- en
ocasiones no queda determinada; por ejemplo, si un valor xi=0
entonces la media geométrica se anula.
Solo es relevante la media geométrica si todos los
números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el
resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos)
entonces la media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales.
En muchas ocasiones se utiliza su trasformación en
el manejo estadístico de
variables con distribución no normal.
La media geométrica es relevante cuando varias
cantidades son multiplicadas para producir un total.
MEDIA
CUADRÁTICA
En matemáticas, la media cuadrática, valor cuadrático medio o RMS (del inglés root mean square) es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Puede calcularse para una serie de valores discretos o para una función de variable continua. El nombre deriva del hecho de que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores.
En matemáticas, la media cuadrática, valor cuadrático medio o RMS (del inglés root mean square) es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Puede calcularse para una serie de valores discretos o para una función de variable continua. El nombre deriva del hecho de que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores.
A veces la variable toma valores positivos y
negativos, como ocurre, por ejemplo, en los errores
de medida. En tal caso se puede estar interesado en obtener
un promedio que no recoja los efectos del signo. Este problema se resuelve,
mediante la denominada media cuadrática. Consiste en elevar al cuadrado todas
las observaciones (así los signos negativos desaparecen), en obtener después su
media aritmética y en extraer, finalmente, la raíz cuadrada de dicha media para
volver a la unidad de medida original.
La media cuadrática para una serie no agrupada:
Mc =
Para distribuciones de frecuencias no agrupadas:
Mc =
Para distribuciones de clases y frecuencias:
Mc =
OTRAS MEDIDAS DE POSICION.
Así como la mediana marca la mitad de valores mayores que ella
y la mitad de valores menores que ella, los cuantiles permiten identificar los
valores ubicados en diferentes posiciones de un grupo e datos.
Los cuartiles (primero, segundo y tercero) señalan el
valor que está al 25, 50 y 75 % de la totalidad de datos (el segundo cuartil
equivale a la mediana).
Los deciles (del primero al noveno) marcan el valor
ubicada al 10, 20,....., 89, 90 % de los datos (el quinto decil equivale a la
mediana).
Los percentiles (del primero al nonagésimo nono)
indican el valor que está al 1,
2, 3,........, 98, 99% de los datos.
Obsérvese que los deciles primero, segundo, etc., equivalen a
los percentiles décimo, vigésimo, etc., y los cuartiles equivalen a los
percentiles 25m 50 y 75.
CUARTILES (Q).
Las fórmulas para obtener los cuartiles se presentan a
continuación.
El proceso para localizar los cuartiles es semejante al que se
utiliza para encontrar la mediana.
a)
Ordene los “n” datos en forma ascendente
b)
La posición del cuartil k es : ; donde k x 1 , 2, 3.
DECILES
Los deciles dividen a la serie ordenada en diez partes
iguales, que se van a representar por D1, D2,…, D9
La posición del decil “k”
es ; donde k x 1, 2, 3, … , 9
PERCENTILES
Los percentiles dividen a la serie ordenada en cien partes
iguales, que se van a representar por P1, P2,…, P99
La posición del percentil
“k” es ; donde K x 1, 2, 3,. . ., 98, 99
Observemos que: Q2 = D5 = P50 = MEDIANA
NOTA:
·
Si el resultado del cociente de la
posición del cuartil, decil o percentil es un número decimal aproxímese al
inmediato superior.
·
Si el resultado del cociente de la
posición del cuartil, decil o percentil es un número entero súmele 0.5.
*** Para obtener los cuartiles, deciles y percentiles de datos
agrupados pueden utilizarse las siguientes formulas:
CUARTILES: kn/4;
k = 1, 2, 3.
DECILES: kn/10; k = 1, 2, 3,..., 9
PECENTILES: kn/100; k = 1, 2, 3, 4, 5...., 99
EJERCICIOS
1.
Encontrar
los cuartiles 2 y 3, deciles 5 y 9, percentiles 40 y 80 en la siguiente serie
de datos: 20, 55, 22, 50, 25, 50, 28, 45, 28, 42, 30, 20, 35, 35, 35
2.
La
siguiente distribución corresponde a los salarios mensuales de 100 personas
Salario (x)
|
f
|
300 – 349
|
16
|
350 - 399
|
24
|
400 - 449
|
30
|
450 - 499
|
20
|
500 - 549
|
10
|
Calcule:
a) El cuartil 1
b) El cuartil2
c) El cuartil 3
d) El decil 5
e) El decil 8
f) El percentil 70
g) El percentil 40
h) ¿Cuál es el salario que deja sobre
sí el 50% de ellos?
i) ¿Cuál es el salario que deja bajo
sí el 70% de ellos?
j) ¿Cuál es el salario que deja sobre
sí el 60% de ellos?
3.
Para
la distribución dada, hallar el cuartil 1, 2 y 3. Los deciles 3, 5 y 8; y los
percentiles 15, 50 y 73.
Que puede concluir
acerca del cuartil 2, decil 5 y percentil 50.
Edad(x)
|
f
|
19 – 23
|
15
|
24 – 28
|
16
|
29 – 33
|
20
|
34 – 38
|
14
|
39 – 43
|
8
|
44 - 48
|
7
|
4. Calcular los cuartiles 1 y 3; deciles 4 y 9; percentiles 25 y 75 de las
series estadísticas:
a) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
c) 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17,
10, 16, 14, 8, 18
5. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15)
|
[15, 20)
|
[20, 25)
|
[25, 30)
|
[30, 35)
|
|
fi
|
3
|
5
|
7
|
4
|
2
|
a)
Hallar los cuartiles,
deciles y percentiles 1º y 3º
respectivamente.
6. Dadas las series estadísticas:
a) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular los cuartiles, deciles y percentiles 2º y 7º respectivamente.
7.
Una distribución
estadística viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15)
|
[15, 20)
|
[20, 25)
|
[25, 30)
|
[30, 35)
|
|
fi
|
3
|
5
|
7
|
4
|
2
|
Hallar los deciles y percentiles 3º y 6º.
8. Calcular los cuartiles 2 y 3, deciles 4 y 6 , percentiles 22 y 35 de la distribución de la tabla:
fi
|
Fi
|
|
[50, 60)
|
8
|
8
|
[60, 70)
|
10
|
18
|
[70, 80)
|
16
|
34
|
[80, 90)
|
14
|
48
|
[90, 100)
|
10
|
58
|
[100, 110)
|
5
|
63
|
[110, 120)
|
2
|
65
|
65
|
9. Dadas las series estadísticas:
a) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
b) 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular los percentiles
32 y 85.
10.
Calcule los
cuartiles uno, dos y tres, los deciles
tres siete y nueve y los percentiles 5 10 y 25 de la serie simple. 0.10, 0.12,
0.15, 0.15, 0.18, 0.20, 0.25.
11.
La
siguiente distribución corresponde a salarios mensuales de un grupo de 56
personas:
SALARIOS
|
F
|
500
- 599
|
8
|
600
- 699
|
12
|
700
- 899
|
18
|
800
- 899
|
10
|
900
- 999
|
6
|
1000
- 1099
|
2
|
Calcule:
a)
Cuartil
uno
b)
Cuartil
dos
c)
Cuartil
tres
d)
Decil
cinco
e)
Decil
ocho
f)
Percentil
ochenta
g)
Percentil
cincuenta
h)
El
salario que limita el 20% superior de la
distribución.
i)
El
salario que deja sobre si el 70% de los casos
j)
Entre
qué salarios está el 60% central de la distribución.
EJERCICIOS
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA.
1.
Encuentre la media de los datos siguientes: 45,
62, 89, 112 y 92. ¿cuál es la nueva media que se obtiene cuando a cada uno de
los datos anteriores?
a. Se le suma 18
b. Se le resta 12
c. Se le multiplica
por 5
d. Se le divide entre
4
2.
La suma de los salarios en planilla que paga una
pequeña empresa asciende a 54,000 dólares. Si el salario promedio que paga
dicha empresa es 1,800 dólares; determine el número de personas que trabajan en
esa empresa.
3.
En una farmacia trabajan 8 empleados cuyo sueldo
medio mensual es de $200.
a.
Si se efectúa un aumento general de $26 mensuales,
¿Cuál es el nuevo suelo medio mensual?
b.
¿Cuál es el sueldo medio mensual si el aumento que
se hace a todos los empleados es del 12%’
4.
La suma de los salarios en planilla que paga
cierta empresa asciende a $66,600. Si el salario promedio que paga esta empresa
es $1,800, determine el número de personas que trabajan en dicha empresa.
5.
El peso medio de 5 señoritas es de 98 libras,
mientras que el peso medio de 12 varones es de 110 libras. ¿Cuál es el peso
medio de las 17 personas?
6.
En un equipo de baloncesto la edad media de los
cinco jugadores titulares es de 18 años. Si se sabe que la edad media de los
jugadores suplentes es de 24 años; y que la edad media de todo el equipo, tanto
titulares como suplentes es de 22 años. ¿Cuántos son los jugadores suplentes
que tiene dicho equipo?
7.
Un grupo de clase formado por 30 varones y 20
señoritas tiene, en matemática, una nota media de 6.2. Si la nota media para
solamente las señoritas es de 6.8. ¿Cuál es la nota media para los varones
solos?
8.
En tres departamentos de un banco se tiene la
siguiente información: la media del salario mensual de las 32 personas del
primer departamento es de $2,400; en el segundo departamento, de 54 personas,
la media es de $3,100 y el tercer
departamento de 16 personas, tiene un salario promedio d $3,500. ¿cuál es la
media general de los tres departamentos del banco?
9.
En una empresa de maquila, donde trabajan 400
empleados, el salario promedio es de $1,625. Determinar como cambia el salario
promedio en las distintas circunstancias:
a.
So se aumentan los salarios en 120 dólares.
b.
Si se aumentan los salarios en un 25 %.
c.
Si se aumentan los salarios en un 15%, más una
bonificación del $131.25.
10.La suma de las
calificaciones de un grupo de 40 estudiantes es de 192. Al calcular el profesor
la media aritmética del grupo observo que con este promedio reprobaría más del
50% del grupo. En lugar de hacer otro examen, el profesor dispuso aumentar las
calificaciones de los estudiantes en 1.2.
a.
Determine la media aritmética original.
b.
¿Cómo queda afectado este promedio si aumenta 1.2
a cada estudiante?
11.
La media de los salarios de los docentes de cierta
Universidad es de $4,800. Dado que la tasa de inflación ha sufrido un alza el
12%, la junta de accionistas de dicha universidad acordó dar una bonificación
más un incremento salarial del 15 %. Determine cómo quedaría el nuevo salario
con dichos incrementos.
12.Respecto al
rendimiento escolar de tres secciones de un noveno grado de cierto colegio, se
tiene la siguiente información:
SECCIÓN
|
Ni
|
Xi
|
A
|
25
|
7.5
|
B
|
35
|
7.1
|
C
|
60
|
6.2
|
Calcular la media de las
secciones en conjunto.
13.Una empresa
constructora paga a los empleados un salario promedio de $2,400. Mencione qué
cambios sufre este promedio:
a.
Si se aumentan todos los salarios en $100.
b.
Si se aumentan todos los salarios en un 14%.
c.
Si se aumentan todos los salarios en un 10% más
una bonificación de $150.
Entre las alternativas a, b y c,
¿cuál les conviene a los empleados de la empresa?
14. Un profesor ha
decidido utilizar un promedio ponderado al calcular las calificaciones de sus
alumnos. Las ponderaciones son las
siguientes: 10% para las tareas, 20% para los laboratorios, 30% para el examen
parcial y 40% para el examen final. A continuación aparecen las calificaciones
de los primeros tres alumnos de la lista:
ALUMNO
|
TAREA
|
LABORATORIOS
|
PARCIAL
|
EX FINAL
|
PROMEDIO
|
HERNÁNDEZ
|
10
|
8
|
7
|
5
|
|
BONILLA
|
9
|
10
|
8
|
6
|
|
MARTÍNEZ
|
7
|
6
|
5
|
4
|
Con estos datos, calcule
el promedio final de los tres estudiantes.
15.En un supermercado
trabajan 30 persona, las cuales tienen un sueldo medio mensual de $1,500. ¿a
cuánto asciende la cantidad total mensual de dinero que dicho supermercado paga a estos
empleados?
16.Se sabe que en una oficina el sueldo medio
mensual es de $2,500. Si entre todos los empleados de dicha oficina ganan
mensualmente $45,000. ¿cuantos empleados son en total?
17.Un estudiante ha
finalizado su año escolar, habiendo
obtenido en seis exámenes mensuales de estadística las notas siguientes: 3.0,
6.5, 5.0, 4.0, 7.0 y 8.0. Efectuó
también tres exámenes trimestrales, en los que obtuvo las siguientes
notas: 6.0, 3.0 y 7.5. Si la ponderación
para cada examen trimestral es tres veces mayor que para cada uno de los
exámenes mensuales. ¿Cuál es la nota final de dicho estudiante?
18.En una fábrica laboran
200 obreros cuyo sueldo mensual medio es de $180. Se llega a un arreglo con el
dueño para que l próximo año efectué dos aumentos de sueldo, uno en el mes de
febrero y otro en el mes de agosto.
Uno de los aumentos deberá
ser de 20 y el otro consistirá en el 12% del sueldo que el obrero esté
devengando a la hora del aumento.
a.
¿Cuál de los dos aumentos le conviene a los
obreros que se haga primero?
b.
¿Cuál es el nuevo sueldo mensual medio después de
efectuar los dos aumentos en el orden que le conviene a los obreros?
c.
¿Cuál de los dos aumentos le conviene efectuar
primero al dueño?
d.
¿Cuál es el nuevo sueldo mensual medio después de
efectuar lo dos aumentos en el orden que le conviene al dueño?
e.
Si el dueño efectúa los dos aumentos en el orden
en que a él le conviene ¿Cuánto dinero mensual dejará de pagar?
19.En una granja
avícola hay 3,200 pollos cuyo peso medio es de 4 libras. El propietario decide
darles un nuevo alimento para pollos, cuya garantía es que aumenta el peso de
cada pollo en un 10% semanalmente.
Si la garantía es
verdadera. ¿Cuál es el peso medio de los pollos al cabo de 4 semanas? ¿Cuántas
libras extras de carne de pollo obtendrá el propietario al cabo de 4 semanas?
20.
Seis familiares viven en las ciudades que se
detallan en el siguiente diagrama (las distancias entre ciudad y ciudad
aparecen en kilómetros).
Ahuachapán Santa Ana San Salvador Cojutepeque San Miguel La Unión.
34 km 63 km 33 km 99 km 46 km
Si se desean reunirse en
la casa de uno cualquiera de ellos, para celebrar juntos la navidad. ¿Dónde
deberán hacerlo para que el número medio de kilómetros recorridos por todos
sea mínimo.
21. Un profesor ha decidido utilizar un promedio ponderado al calcular las
calificaciones finales de los estudiantes que asistieron a su seminario. El promedio de las tareas hechas en casa representan el 20% de cada
calificación, el examen parcial, 25%; el examen final, 35%; el examen
trimestral, 10% y los problemas de práctica, 10%. Con los datos anexos calcule
el promedio final de los cinco estudiantes que asistieron al seminario
ALUMNO
|
TAREA ESCOLAR
|
PROBLEMAS
|
EXAMEN
TRIMESTRAL
|
EXAMEN PARCIAL
|
EXAMEN FINAL
|
1
|
85
|
89
|
94
|
87
|
90
|
2
|
78
|
84
|
88
|
91
|
92
|
3
|
94
|
88
|
95
|
86
|
89
|
4
|
82
|
79
|
83
|
84
|
93
|
5
|
95
|
90
|
92
|
82
|
88
|
EJERCICIOS SOBRE LA
MEDIA GEOMETRICA, ARMONICA, CUADRATICA.
1.
Hallar la media
geometría de los números:
a)
4.2, 16.8
b)
3,6,9,12,15
c)
2,4,6,8,16,32
d) 3,5,8,3,7,2
e)
28.5, 73.6, 47.2, 31.5,
64.8
2.
Hallar dos números cuya
media aritmética es 9.0 y cuya media geométrica es 7.2.
3.
Hallar la media armónica de los números:
a.
2,3,6
b.
3.2, 5.2, 4.8, 6.1, 4.2
c.
0,2,4,6
4.
Las ciudades A, B y
C están equidistantes entre si. Un
motoristas viaja desde A hasta B a 30 mi/h, dese B hasta C a 40 mi/h, y desde C
hasta a A a 50 mi/. Determinar su velocidad media en el viaje completo.
5.
Hallar la media
cuadrática de los números
a.
11, 23 y 35
b.
2.7, 3.8, 3.2, 4.3
6.
Hallar la media
geométrica, armónica y cuadrática de las
series siguientes y compararla con la media aritmética de las distribuciones:
a)
La tabla muestra la
distribución de cargas máximas en toneladas cortas (1 tonelada corta = 2000 lb) que soportan
los cables producidos en cierta fabrica.
CARGA MÁXIMA
|
NÚMERO DE CABLES
|
9.3 -
9.7
|
2
|
9.8 -
10.2
|
5
|
10.3 -
10.7
|
12
|
10.8 -
11.2
|
17
|
11.3 -
11.7
|
14
|
11.8 -
12.2
|
6
|
12.3 -
12.7
|
3
|
12. 8 -
13.2
|
1
|
N
|
60
|
b)
X
|
462
|
480
|
498
|
516
|
534
|
552
|
570
|
588
|
606
|
624
|
f
|
98
|
75
|
56
|
42
|
30
|
21
|
15
|
11
|
6
|
2
|
7.
Hallar la media
geométrica, armónica y cuadrática de las
series siguiente y compararla con la media aritmética de las distribuciones de
los diámetros de los remaches salidos de una fábrica.
DIÁMETRO (CM)
|
FRECUENCIA
|
0.7247 -
0.7249
|
2
|
0.7250 -
0.7252
|
6
|
0.7253 -
0.7255
|
8
|
0.7256 -
0.7258
|
15
|
0.7259 -
0.7261
|
42
|
0.7262 -
0.7264
|
68
|
0.7265 -
0.7267
|
49
|
0.7268 -
0.7270
|
25
|
0.7271 -
0.7273
|
18
|
0.7274 -
0.7276
|
12
|
0.7277 -
0.7279
|
4
|
0.7280 -
0.7282
|
1
|
total
|
250
|
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